مثلثات للمتفوقين

إثبت أن :

ظتا30 ظتا40 = 1 + قا20

ظتا30 ظتا40 = ( جتا30 جتا40) / ( جا30 جا40)

جتا70 = جتا(30 + 40) = جتا30 جتا40 - جا30 جا40
جتا30 جتا40 = جتا70 + جا30 جا40 = جا20 + جا30 جا40
حيث جتا 70 = جا20

ظتا30 ظتا40 = [جا20 + جا30 جا40] / (جا30 جا40)
= 1 + جا20/(جا30 جا40)
= 1 + جا20/(1/2*2*جا20 جتا20)
= 1 + 1/جتا20 = 1 + قا20

حل آخر :

جتا70 = جا20
جتا70 = جتا(30 + 40) = جتا30 جتا40 - جا30 جا40

جتا30 جتا40 = جا20 + جا30 جا40

بالقسمة على جا30 جا40

ظتا30 ظتا40 = جا20/(جا30 جا40) + 1 = جا20/(1/2*2*جا20 جتا20) + 1 = قا20 + 1

حل المثلث أ ب جـ

الذي فيه : أ َ - ب َ = 3 سم ، جـ َ = 8 سم ، ق ( أ - ب ) = 20 َ 18 درجة

ق ( أ - ب ) = 20 َ 18 درجة = 18.3333 درجة
ق [( أ - ب )/ 2] = 9.1666 درجة

جا[(أ - ب)/2] = 0.1593
جتا[(أ - ب)/2] = 0.9872

جاأ - جاب = 2 جتا(أ + ب)/2 * جا(أ - ب)/2 = 0.3186 جتا(أ + ب)/2

جاأ + جاب = 2 جا(أ + ب)/2 * جتا(أ - ب)/2 = 1.9744 جا(أ + ب)/2

جا ج = جا[180 - (أ + ب)] = جا(أ + ب) = 2 جا(أ + ب)/2 * جتا(أ + ب)/2

جَِِ /جاج = أَ /جاأ = بََ /جاب = (أَ - بَ)/(جاأ - جاب) = (أَ + بَ)/(جاأ + جاب)

ج / [2 جا(أ + ب)/2 * جتا(أ + ب)/2 ] = (أَ - بَ)/[0.3186 جتا(أ + ب)/2 ]

4 /[جا(أ + ب)/2] = 3 /[0.3186 ]

جا(أ + ب)/2 = 4 * [0.3186 ]/ 3 = 0.4248
جتا(أ + ب)/2 = 0.9052

جاأ - جاب = 2 جتا(أ + ب)/2 * جا(أ - ب)/2 = 0.3186 جتا(أ + ب)/2 = 0.3186 * 0.9052 = 0.2844

جاأ + جاب = 2 جا(أ + ب)/2 * جتا(أ - ب)/2 = 1.9744 جا(أ + ب)/2 = 1.9744 * 0.4248 = 0.8387

(أَ - بَ)/(جاأ - جاب) = (أَ + بَ)/(جاأ + جاب)
3/0.2844 = (أ + ب)/0.8387

(أ + ب) = 3*0.8387 /0.2844 = 8.8470
(أَ - بَ) = 3

أَ = 5.9235 = 6 سم تقريبا
بَ = 3 سم

في أي مثلث أ ب جـ

إثبت أن : جا ( أ/2 ) جتا ( ب/2 ) = [ ( ح - ب َ ) / جـ َ ] × جتا ( جـ / 2 )

أَ/جاأ = بَ/جاب = جَ/جاج
أَ = جَ*جاأ/جاج
بَ = جَ*جاب/جاج

جاج = جا[180 - (أ + ب)] = جا(أ + ب) = 2جا(أ + ب)/2 جتا(أ + ب)/2

جاج/2 = جتا(90 - ج/2) = جتا(أ + ب)/2

ح = 1/2*(أَ + بَ + جَ)
(ح - بَ) = 1/2*( أَ - بَ + جَ )

[(ح - بَ)*جتاج/2] / جَ = [1/2*( أَ - بَ + جَ )/ جَ]*جتاج/2

= 1/2*]*جتاج/2 *[(جَ*جاأ/جاج) - (جَ*جاب/جاج) + جَ]/ جَ]

= 1/2*[(جتاج/2)/جاج] [ جاأ - جاب + جاج ]

= 1/2*[جتاج/2 /(2جاج/2 جتاج/2] [(جاأ - جاب) + جاج]

= 1/2*1/2*(1/جاج/2) * [(2جتا(أ + ب)/2 جا(أ - ب)/2 ) + 2جا(أ + ب)/2 جتا(أ + ب)/2]

= 1/2*[جا(أ - ب)/2 + جتا(أ + ب)/2 ]

= 1/2*[2جاأ/2 جتاب/2 ] = جاأ/2 جتاب/2

حل المعادلة :

جاس + جا3 س = جتاس + جتا 3 س

في الدورة الأولي

جاس = جا(2 س - س) = جا2 س جتاس - جتا2 س جاس
جا3 س = جا(2 س + س) = جا2 س جتاس + جتا2 س جاس

جاس + جا3 س = 2 جا2 س جتاس ... ... ... (1)

جتاس = جتا(2 س - س) = جتا2 س جتاس + جا2 س جاس
جتا3 س = جتا(2 س + س) = جتا2 س جتاس + جا2 س جاس

جتاس + جتا 3 س = 2 جتا2 س جتاس ... ... ... (2)

2 جا2 س جتاس = 2 جتا2 س جتاس

جتاس (جا2 س - جتا2 س) = 0

جتاس = 0 ـــــــــــــــــــ س = ط/2 أو 3ط/2

أو

جا2 س = جتا2 س
ظا2 س = 1 ــــــــــــ 2 س = ط/4 ـــــــــــ س = ط/8

ــــــــــــــــــــــ 2 س = 5ط/4 ـــــــــ س = 5ط/8

» مسألة مثلثات جميلة